Sự thay đổi chu kì của con lắc đơn (nâng cao)

SỰ THAY ĐỔI CHU KÌ CON LẮC ĐƠN KHI

Chu kì con lắc thay đổi theo độ cao, độ sâu h so với mặt biển
- Chu kì con lắc khi đưa con lắc từ mặt đất lên độ cao h so với mặt nước biển:

Ở mặt đất: $T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$ với $g = \frac{G M}{R^{2}}$

Ở độ cao h: $T^{'} = 2 π \sqrt{\frac{l}{g^{'}}}$ với $g^{'} = \frac{G M}{{(R + h)}^{2}}$

$\Rightarrow \frac{T^{'}}{T} = \sqrt{\frac{g}{g^{'}}} = \frac{R + h}{R} = 1 + \frac{h}{R} \Leftrightarrow \frac{Δ T}{T} = \frac{h}{R}$

Chu kì con lắc khi đưa con lắc xuống độ sâu h so với mặt nước biển:

Ở mặt đất: $T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$ với $g = G \frac{4}{3} π . R . D$

Ở độ sâu h: $T^{'} = 2 π \sqrt{\frac{l}{g^{'}}}$ với $g^{'} = G . \frac{4}{3} π (R - h) D$

$\Rightarrow \frac{T^{'}}{T} = {(\frac{R}{R - h})}^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{h}{2 R} \Leftrightarrow \frac{Δ T}{T} = \frac{h}{2 R}$

Chu kì con lắc thay đổi theo nhiệt độ

Ở nhiệt độ $t_{1}$ : $T = 2 π \sqrt{\frac{l_{1}}{g}}$ với $l_{1} = l_{0} (1 + λ t_{1})$ ; $λ$ là hệ số nở dài

Ở nhiệt độ $t_{2}$ : $T = 2 π \sqrt{\frac{l_{2}}{g}}$ với $l_{2} = l_{0} (1 + λ t_{2})$

$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \sqrt{\frac{l_{2}}{l_{1}}} = \sqrt{\frac{1 + λ t_{2}}{1 + λ t_{1}}} = {(1 + λ t_{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + λ t_{1})}^{- \frac{1}{2}}$

Áp dụng công thức gần đúng: ${(1 + ε)}^{n} = 1 + n ε$

$\frac{T_{2}}{T_{1}} = (1 + \frac{1}{2} λ t_{2}) (1 - \frac{1}{2} λ t_{1}) \Leftrightarrow \frac{T_{2}}{T_{1}} = 1 + \frac{1}{2} λ t_{2} - \frac{1}{2} λ t_{1} - \frac{1}{4} λ^{2} t_{1} t_{2}$

Do giá trị $\frac{1}{4} λ t_{1} t_{2}$ rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua

$\Rightarrow \frac{T_{2}}{T_{1}} = 1 + \frac{1}{2} λ (t_{2} - t_{1}) \Leftrightarrow \frac{Δ T}{T_{1}} = \frac{1}{2} λ Δ t$

Chu kì con lắc khi đưa con lắc từ mặt đất có nhiệt độ $t_{1}$ lên độ cao h có nhiệt độ

Ở mặt đất, nhiệt độ $t_{1}$ : $T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$

với $g = \frac{G M}{R^{2}}$ ;

$l = l_{0} (1 + λ t_{1})$

Ở độ cao h, nhiệt độ $t_{2}$ : $T^{'} = 2 π \sqrt{\frac{l^{'}}{g^{'}}}$

với $g^{'} = \frac{G M}{{(R + h)}^{2}}$ ;

$l^{'} = l_{0} (1 + λ t_{2})$

$\Rightarrow \frac{T^{'}}{T} = \sqrt{\frac{g}{g^{'}} \cdot \frac{l^{'}}{l}} = \frac{R + h}{R} \cdot \sqrt{\frac{1 + λ t_{2}}{1 + λ t_{1}}}$

$= (1 + \frac{h}{R}) [1 + \frac{1}{2} λ (t_{2} - t_{1})] \Leftrightarrow \frac{T^{'}}{T}$

$= 1 + \frac{h}{R} + \frac{1}{2} λ (t_{2} - t_{1}) + \frac{h}{R} \cdot \frac{1}{2} λ (t_{2} - t_{1})$

Do giá trị $\frac{h}{R} \cdot \frac{1}{2} λ (t_{2} - t_{1})$ rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua

$\Leftrightarrow \frac{T^{'}}{T} \approx 1 + \frac{h}{R} + \frac{1}{2} λ (t_{2} - t_{1}) \Leftrightarrow \frac{Δ T}{T} = \frac{h}{R} + \frac{1}{2} λ (t_{2} - t_{1})$

Chú ý:

$Δ T > 0$ : Chu kì tăng, đồng hồ chạy chậm

$Δ T < 0$ : Chu kì giảm, đồng hồ chạy nhanh

$Δ T = 0$ : Đồng hồ chạy đúng

Thời gian đồng hồ chạy nhanh (chậm) trong một ngày đêm là:

$θ = \frac{Δ T}{T_{2}} \cdot 24.3600 (s)$ , thường $T_{2} \approx T_{1}$ nên

$θ = \frac{Δ T}{T_{1}} \cdot 24.3600 (s)$

Chu kì con lắc thay đổi khi đem con lắc từ nơi này sang nơi khác (g thay đổi một lượng rất nhỏ)

Khi con lắc ở vị trí A: $T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$

Khi con lắc ở vị trí B: $T^{'} = 2 π \sqrt{\frac{l}{g^{'}}}$ với $g^{'} = g + Δ g$

$\Rightarrow \frac{T^{'}}{T} = \sqrt{\frac{g}{g^{'}}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{Δ g}{g}}} = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{Δ g}{g} \Leftrightarrow \frac{Δ T}{T} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{Δ g}{g}$

Chú ý:

Khi cả nhiệt độ và g thay đổi lượng rất nhỏ, kết hợp dạng 2 và 3 ta có: $\frac{Δ T}{T} = \frac{1}{2} α Δ t - \frac{1}{2} \cdot \frac{Δ g}{g}$

Chu kì con lắc khi chiều dài dây treo thay đổi một đoạn rất nhỏ

Khi dây treo có chiều dài $l_{1}$

Khi dây có chiều dài $l_{2}$ : $T_{2} = 2 π \sqrt{\frac{l_{2}}{g}}$ với $l_{2} = l_{1} + Δ l$

$\Rightarrow \frac{T_{2}}{T_{1}} = \sqrt{\frac{l_{2}}{l_{1}}} = \sqrt{1 + \frac{Δ l}{l_{1}}} = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{Δ l}{l_{1}} \Rightarrow \frac{Δ T}{T_{1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{Δ l}{l_{1}}$

Chú ý: Khi cả l và g thay đổi một lượng rất nhỏ, kết hợp dạng 3 và 4 ta có: $\frac{Δ T}{T} = \frac{1}{2} \cdot \frac{Δ l}{l} - \frac{1}{2} \cdot \frac{Δ g}{g}$

Was this helpful?

0 / 0