SỰ THAY ĐỔI CHU KÌ CON LẮC ĐƠN KHI
- Chu kì con lắc thay đổi theo độ cao, độ sâu h so với mặt biển
- Chu kì con lắc khi đưa con lắc từ mặt đất lên độ cao h so với mặt nước biển:
Ở mặt đất: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ với $g=\frac{GM}{{{R}^{2}}}$
Ở độ cao h: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l}{g’}}$ với $g’=\frac{GM}{{{\left( R+h \right)}^{2}}}$
$\Rightarrow \frac{T’}{T}=\sqrt{\frac{g}{g’}}=\frac{R+h}{R}=1+\frac{h}{R}\Leftrightarrow \frac{\Delta T}{T}=\frac{h}{R}$
- Chu kì con lắc khi đưa con lắc xuống độ sâu h so với mặt nước biển:
Ở mặt đất: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ với $g=G\frac{4}{3}\pi .R.D$
Ở độ sâu h: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l}{g’}}$với $g’=G.\frac{4}{3}\pi \left( R-h \right)D$
$\Rightarrow \frac{T’}{T}={{\left( \frac{R}{R-h} \right)}^{\frac{1}{2}}}=1+\frac{h}{2R}\Leftrightarrow \frac{\Delta T}{T}=\frac{h}{2R}$
- Chu kì con lắc thay đổi theo nhiệt độ
Ở nhiệt độ ${{t}_{1}}$: $T=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{1}}}{g}}$với ${{l}_{1}}={{l}_{0}}\left( 1+\lambda {{t}_{1}} \right)$; $\lambda $ là hệ số nở dài
Ở nhiệt độ ${{t}_{2}}$: $T=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{g}}$với ${{l}_{2}}={{l}_{0}}\left( 1+\lambda {{t}_{2}} \right)$
$\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{{{l}_{1}}}}=\sqrt{\frac{1+\lambda {{t}_{2}}}{1+\lambda {{t}_{1}}}}={{\left( 1+\lambda {{t}_{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}{{\left( 1+\lambda {{t}_{1}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}$
Áp dụng công thức gần đúng: ${{\left( 1+\varepsilon \right)}^{n}}=1+n\varepsilon $
$\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\left( 1+\frac{1}{2}\lambda {{t}_{2}} \right)\left( 1-\frac{1}{2}\lambda {{t}_{1}} \right)\Leftrightarrow \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=1+\frac{1}{2}\lambda {{t}_{2}}-\frac{1}{2}\lambda {{t}_{1}}-\frac{1}{4}{{\lambda }^{2}}{{t}_{1}}{{t}_{2}}$
Do giá trị $\frac{1}{4}\lambda {{t}_{1}}{{t}_{2}}$ rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua
$\Rightarrow \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=1+\frac{1}{2}\lambda \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)\Leftrightarrow \frac{\Delta T}{{{T}_{1}}}=\frac{1}{2}\lambda \Delta t$
- Chu kì con lắc khi đưa con lắc từ mặt đất có nhiệt độ ${{t}_{1}}$ lên độ cao h có nhiệt độ
Ở mặt đất, nhiệt độ ${{t}_{1}}$: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
với $g=\frac{GM}{{{R}^{2}}}$;
$l={{l}_{0}}\left( 1+\lambda {{t}_{1}} \right)$
Ở độ cao h, nhiệt độ ${{t}_{2}}$: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l’}{g’}}$
với $g’=\frac{GM}{{{\left( R+h \right)}^{2}}}$;
$l’={{l}_{0}}\left( 1+\lambda {{t}_{2}} \right)$
$\Rightarrow \frac{T’}{T}=\sqrt{\frac{g}{g’}\cdot \frac{l’}{l}}=\frac{R+h}{R}\cdot \sqrt{\frac{1+\lambda {{t}_{2}}}{1+\lambda {{t}_{1}}}}$
$=\left( 1+\frac{h}{R} \right)\left[ 1+\frac{1}{2}\lambda \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right) \right]\Leftrightarrow \frac{T’}{T}$
$=1+\frac{h}{R}+\frac{1}{2}\lambda \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)+\frac{h}{R}\cdot \frac{1}{2}\lambda \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)$
Do giá trị $\frac{h}{R}\cdot \frac{1}{2}\lambda \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)$ rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua
$\Leftrightarrow \frac{T’}{T}\approx 1+\frac{h}{R}+\frac{1}{2}\lambda \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)\Leftrightarrow \frac{\Delta T}{T}=\frac{h}{R}+\frac{1}{2}\lambda \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)$
Chú ý:
$\Delta T>0$: Chu kì tăng, đồng hồ chạy chậm
$\Delta T<0$: Chu kì giảm, đồng hồ chạy nhanh
$\Delta T=0$: Đồng hồ chạy đúng
Thời gian đồng hồ chạy nhanh (chậm) trong một ngày đêm là:
$\theta =\frac{\Delta T}{{{T}_{2}}}\cdot 24.3600\left( s \right)$, thường ${{T}_{2}}\approx {{T}_{1}}$ nên
$\theta =\frac{\Delta T}{{{T}_{1}}}\cdot 24.3600(s)$
- Chu kì con lắc thay đổi khi đem con lắc từ nơi này sang nơi khác (g thay đổi một lượng rất nhỏ)
Khi con lắc ở vị trí A: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
Khi con lắc ở vị trí B: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l}{g’}}$với $g’=g+\Delta g$
$\Rightarrow \frac{T’}{T}=\sqrt{\frac{g}{g’}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{\Delta g}{g}}}=1-\frac{1}{2}\cdot \frac{\Delta g}{g}\Leftrightarrow \frac{\Delta T}{T}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{\Delta g}{g}$
Chú ý:
Khi cả nhiệt độ và g thay đổi lượng rất nhỏ, kết hợp dạng 2 và 3 ta có: $\frac{\Delta T}{T}=\frac{1}{2}\alpha \Delta t-\frac{1}{2}\cdot \frac{\Delta g}{g}$
- Chu kì con lắc khi chiều dài dây treo thay đổi một đoạn rất nhỏ
Khi dây treo có chiều dài ${{l}_{1}}$
Khi dây có chiều dài ${{l}_{2}}$: ${{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{g}}$với ${{l}_{2}}={{l}_{1}}+\Delta l$
$\Rightarrow \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{{{l}_{1}}}}=\sqrt{1+\frac{\Delta l}{{{l}_{1}}}}=1+\frac{1}{2}\cdot \frac{\Delta l}{{{l}_{1}}}\Rightarrow \frac{\Delta T}{{{T}_{1}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\Delta l}{{{l}_{1}}}$
Chú ý: Khi cả l và g thay đổi một lượng rất nhỏ, kết hợp dạng 3 và 4 ta có: $\frac{\Delta T}{T}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\Delta l}{l}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\Delta g}{g}$
.