DẠNG 1: TÍNH CHU KÌ CON LẮC ĐƠN CƠ BẢN
Áp dụng các công thức sau:
Chu kì con lắc đơn: $T=2\pi \sqrt{\frac{g}{l}}$, $T=\frac{t}{n}$
Tần số góc: $\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}$
Ví dụ 1: Con lắc lò xo có chiều dài ${{l}_{1}}$ dao động điều hòa với chu kì ${{T}_{1}}=1,5s$, con lắc có chiều dài ${{l}_{2}}$ dao động điều hòa với chu kì ${{T}_{2}}=0,9s$. Tính chu kì của con lắc chiều dài ${{l}_{2}}-{{l}_{1}}$ tại nơi đó.
Giải:
Con lắc chiều dài ${{l}_{1}}$có: ${{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{1}}}{g}}\Leftrightarrow {{l}_{1}}=\frac{T_{1}^{2}g}{4{{\pi }^{2}}}$
Con lắc chiều dài ${{l}_{2}}$có: ${{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{g}}\Leftrightarrow {{l}_{2}}=\frac{T_{2}^{2}g}{4{{\pi }^{2}}}$
Con lắc có chiều dài $l$ có: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\Leftrightarrow l=\frac{{{T}^{2}}g}{4{{\pi }^{2}}}$
Từ $l={{l}_{1}}-{{l}_{2}}\Leftrightarrow \frac{{{T}^{2}}g}{4{{\pi }^{2}}}=\frac{T_{1}^{2}g}{4{{\pi }^{2}}}-\frac{T_{2}^{2}g}{4{{\pi }^{2}}}\Rightarrow T=\sqrt{T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}=\sqrt{{{1,5}^{2}}+{{0,9}^{2}}}=1,2(s)$
Ví dụ 2: Hai con lắc đơn dao động trên cùng mặt phẳng có hiệu chiều dài là 14(cm). Trong cùng một khoảng thời gian: khi con lắc I thực hiện được 15 dao động thì con lắc II thực hiện được 20 dao động.
- Tính chiều dài và chu kì của hai con lắc. Lấy $g=9,86(m/{{s}^{2}})$
- Giả sử tại thời điểm t hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều thì sau đó bao lâu cả hai
con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều như trên.
Giải:
- Ta có: $\Delta t=15{{T}_{1}}=20{{T}_{2}}\Leftrightarrow 3.2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{1}}}{g}}=4.2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{g}}\Leftrightarrow 9{{l}_{1}}=16{{l}_{2}}\Leftrightarrow {{l}_{1}}=\frac{16}{9}{{l}_{2}}$
Mặt khác ta có: $\left| {{l}_{1}}-{{l}_{2}} \right|=14\Rightarrow {{l}_{1}}=32(cm)$; ${{l}_{2}}=18(cm)$
$\Rightarrow {{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{1}}}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{0,32}{9,86}}=1,13(s)$; ${{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{0,18}{9,86}}=0,85(s)$
- Gọi thời gian cả hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều (còn gọi là khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp), ta có:
$\Delta t={{N}_{1}}{{T}_{1}}={{N}_{2}}{{T}_{2}}$ (với ${{N}_{1}}$ và ${{N}_{2}}$ số dao động con lắc I và II thực hiện trong thời gian $\Delta t$)
Mà ${{T}_{1}}=\frac{4}{3}{{T}_{2}}\Rightarrow {{N}_{2}}=\frac{4}{3}{{N}_{1}}$
Ta thấy khi con lắc I thực hiện được 4 dao động thì con lắc 2 thực hiện được 3 dao động
$\Rightarrow \Delta t=4{{T}_{1}}=4.1,13=4,52(s)$
Ví dụ 3: Một con lắc đơn có chu kì 2(s). Nếu tăng chiều dài con lắc thêm 20,5(cm) thì chu kì dao động là 2,2(s). Tìm gia tốc trọng trường nơi làm thí nghiệm
Giải:
Con lắc có chiều dài ${{l}_{1}}$ dao động với chu kì ${{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{1}}}{g}=}0,2(s)\Leftrightarrow {{l}_{1}}=\frac{T_{1}^{2}g}{4{{\pi }^{2}}}=\frac{g}{{{\pi }^{2}}}$
Con lắc có chiều dài ${{l}_{2}}$ dao động với chu kì ${{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{g}=}2,2(s)\Leftrightarrow {{l}_{2}}=\frac{T_{2}^{2}g}{4{{\pi }^{2}}}=\frac{1,21g}{{{\pi }^{2}}}$
Mà ${{l}_{2}}={{l}_{1}}+0,205\Rightarrow \frac{1,21g}{{{\pi }^{2}}}=\frac{g}{{{\pi }^{2}}}+0,205\Leftrightarrow g=9,625(m/{{s}^{2}})$
Ví dụ 4: Một con lắc đơn chiều dài 99(cm) có chu kì dao động 2(s) tại A.
- Tính gia tốc trọng trường tại A.
- Đem con lắc đến B, ta thấy con lắc thực hiện 100 dao động mất 199(s). Hỏi gia tốc trọng trường tại B tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với gia tốc trọng trường tại A.
- Muốn con lắc dao động tại B với chu kì 2(s) thì ta phải làm như thế nào?
Giải:
- $l=0,99m;{{T}_{A}}=2s;{{g}_{A}}=?$
Từ ${{T}_{A}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{{{g}_{A}}}}\Rightarrow {{g}_{A}}=\frac{4{{\pi }^{2}}l}{T_{A}^{2}}=\frac{4{{\pi }^{2}}.0,99}{{{4}^{2}}}=9,76(m/{{s}^{2}})$
- Chu kì con lắc tại B: ${{T}_{B}}=\frac{t}{n}=\frac{199}{100}=1,99(s)$
${{g}_{B}}=\frac{4{{\pi }^{2}}l}{T_{B}^{2}}=\frac{4{{\pi }^{2}}.0,99}{{{1,99}^{2}}}=9,86m/{{s}^{2}}\Rightarrow \frac{\Delta g}{{{g}_{A}}}=\frac{{{g}_{B}}-{{g}_{A}}}{{{g}_{A}}}=0,01$
Vậy gia tốc trọng trường tại B tăng 1% so với gia tốc trọng trường tại A
- Để $T_{B}^{‘}={{T}_{A}}\Rightarrow \frac{l’}{{{g}_{B}}}=\frac{l}{{{g}_{A}}}\Leftrightarrow l’=\frac{l.{{g}_{B}}}{{{g}_{A}}}=\frac{0,99.9,86}{9,76}=1(m)$
Vậy cần tăng chiều dây thêm đoạn: $\Delta l=l’-l=1-0,99=0,01(m)=1(cm)$.
Ví dụ 5: Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa. Trong khoảng thời gian $\Delta t$, con lắc thực hiện được 60 dao động toàn phần, thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44(cm) thì cũng trong khoảng thời gian $\Delta t$, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Tìm chiều dài ban đầu của con lắc.
Giải:
Chu kì con lắc đơn ban đầu: ${{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{1}}}{g}}=\frac{\Delta t}{{{N}_{1}}}$ (1)
Chu kì con lắc khi thay đổi: ${{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{g}=}\frac{\Delta t}{{{N}_{2}}}$ (2)
Lấy (1) chia (2) theo từng vế $\frac{(1)}{(2)}\Leftrightarrow \frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}={{\left( \frac{{{N}_{2}}}{{{N}_{1}}} \right)}^{2}}={{\left( \frac{50}{60} \right)}^{2}}=\frac{25}{36}$ (3)
Từ (3)$\Rightarrow {{l}_{2}}>{{l}_{1}}\Rightarrow {{l}_{2}}={{l}_{1}}+44$ (4)
Giải hệ (3) và (4) ta được ${{l}_{1}}=100(cm)$ và ${{l}_{2}}=144(cm)$