Khi chưa có lực lạ F
Ở vị trí cân bằng: $\vec{P}+\vec{T}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{T}=-\vec{P}=-m\vec{g}$
Chu kì con lắc: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
Khi có lực lạ F
Ở vị trí cân bằng: $\vec{P}+\vec{T}+\vec{F}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{T}=-\left( \vec{P}+\vec{F} \right)$
Đặt $\vec{P}’=\vec{P}+\vec{F}=m\vec{g}’$(*)
Ta coi con lắc dao động trong trong trọng lực hiệu
Do đó chu kì con lắc là: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l}{g’}}$
Khi lực $\vec{F}$ cùng chiều với $\vec{P}$: (Hình a)
Từ (*)$\Rightarrow P’=P+F\Leftrightarrow g’=g+\frac{F}{m}$
Khi lực $\vec{F}$ ngược chiều với $\vec{P}$: (Hình b)
Từ (*)$\Rightarrow P’=P-F\Leftrightarrow g’=g-\frac{F}{m}$
Khi lực $\vec{F}\bot \vec{P}$: (Hình c)
Từ (*)$\Rightarrow P{{‘}^{2}}={{P}^{2}}+{{T}^{2}}$
$\Leftrightarrow g’=\sqrt{g+{{\left( \frac{F}{m} \right)}^{2}}}$ hay $g’=\frac{g}{\cos \alpha }$
Với $\alpha $ là góc hợp bởi dây treo và phương
thẳng đứng và $\tan \alpha =\frac{F}{P}$
Các loại lực lạ F
Lực quán tính: ${{\vec{F}}_{qt}}=-m\vec{a}$
• ${{\vec{F}}_{qt}}$ ngược chiều với $\vec{a}$
• $\vec{a}$ cùng chiều chuyển động khi vật chuyển động nhanh dần
• $\vec{a}$ ngược chiều chuyển động khi vật chuyển động chậm dần
Lực điện trường: $\vec{F}=q\vec{E}$
• $\vec{F}$ cùng chiều $\vec{E}$ khi $q>0$
• $\vec{F}$ ngược chiều $\vec{E}$ khi $q<0$
Lực Acsimet: ${{\vec{F}}_{A}}=DVg$
Trong đó
• $D$ là khối lượng chất lỏng (hay chất khí) bị chiếm chỗ
• $V$ là thể tích vật chiếm chỗ
• $g$ là gia tốc trọng trường
Ví dụ 1: Con lắc đơn dài $l=1(m)$, vật nặng khối lượng m=50(g) mang điện tích $q=-{{2.10}^{-5}}(C)$,$g=9,86(m/{{s}^{2}})$ Đặt con lắc vào vùng điện trường $\vec{E}$ có độ lớn $E=25(V/cm)$. Tính chu kì con lắc khi:
a. $\vec{E}$ có hướng thẳng đứng hướng xuống
b. $\vec{E}$ có hướng thẳng đứng hướng lên
c. $\vec{E}$ có hướng nằm ngang
Giải:
Lực điện trường tác dụng lên quả cầu tích điện $q$có độ lớn: $F=\left| q \right|E$
$={{2.10}^{-5}}.2500=0,05(N)$
a. $\vec{E}$ có hướng thẳng đứng hướng xuống:
do $q<0$ nên lực điện trường $\vec{F}$ có hướng thẳng đứng hướng lên trên nên
$\vec{E}$ ngược chiều $\vec{P}$
Ta có gia tốc hiệu dụng:
$g’=g-\frac{F}{m}=9,86-\frac{0,05}{0,05}=8,86(m/{{s}^{2}})$
Chu kì của con lắc: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l}{g’}}$
$=2\pi \sqrt{\frac{1}{8,86}}=2,11(s)$
b. $\vec{E}$ có hướng thẳng đứng hướng lên:
do $q<0$ nên lực điện trường $\vec{F}$ có hướng thẳng đứng hướng lên trên nên $\vec{E}$ cùng chiều $\vec{P}$
Ta có gia tốc hiệu dụng: $g’=g+\frac{F}{m}$
$=9,86+\frac{0,05}{0,05}=10,86(cm)$
Chu kì của con lắc: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l}{g’}}$
$=2\pi \sqrt{\frac{1}{10,86}}=1,91(s)$
c. Khi $\vec{E}$ có hướng nằm ngang $\Rightarrow \vec{F}\bot \vec{P}$
Ta có gia tốc hiệu dụng: $g’=\sqrt{{{g}^{2}}+\frac{{{F}^{2}}}{{{m}^{2}}}}$
$=\sqrt{{{9,86}^{2}}+1}=9,91(m/{{s}^{2}})$
Chu kì của con lắc: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l}{g’}}$
$=2\pi \sqrt{\frac{1}{9,91}}=1,995(s)$
Ví dụ 2: Một con lắc đơn được treo vào trần một thang máy tại nơi có $g=9,86(m/{{s}^{s}})$.
Khi thang máy đứng yên thì chu kì con lắc là $2(s)$. Tìm chu kì con lắc khi:
a. Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc $1,14(m/{{s}^{2}})$
b. Thang máy đi lên đều
c. Thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc $0,86(m/{{s}^{2}})$
Giải:
Chu kì con lắc khi thang máy đứng yên: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ (1)
Con lắc đặt trong thang máy chuyển động với gia tốc $\vec{a}$ sẽ chịu thêm lực quán tính có độ lớn: ${{F}_{qt}}=ma$
a. Khi thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc $1,14(m/{{s}^{2}})$:
Do thang máy chuyển động nhanh dần đều nên gia tốc $\vec{a}$ cùng chiều chuyển động (hướng lên),
mà ${{\vec{F}}_{qt}}$ ngược chiều $\vec{a}$$\Rightarrow {{\vec{F}}_{qt}}$ hướng xuống $\Rightarrow {{\vec{F}}_{qt}}$ cùng chiều $\vec{P}$
Ta có, gia tốc hiệu dụng: $g’=g+\frac{{{F}_{qt}}}{m}=g+a=9,86+1,14=11(m/{{s}^{s}})$
Chu kì của con lắc: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l}{g’}}$ (2)
Lập tỉ số $\frac{(2)}{(1)}$ ta được $\frac{T’}{T}=\sqrt{\frac{g}{g’}}\Rightarrow T’=2.\sqrt{\frac{9,86}{11}}=1,89(s)$
b. Khi thang máy chuyển động đều: $a=0\Rightarrow T=2(s)$
c. Khi thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc $0,86(m/{{s}^{2}})$:
Do thang máy chuyển động chậm dần đều nên gia tốc
$\vec{a}$ cùng ngược chuyển động (hướng xuống), mà ${{\vec{F}}_{qt}}$
ngược chiều $\vec{a}$$\Rightarrow {{\vec{F}}_{qt}}$ hướng lên
$\Rightarrow {{\vec{F}}_{qt}}$ ngược chiều $\vec{P}$
Ta có gia tốc hiệu dụng: $g”=g-\frac{{{F}_{qt}}}{m}=g-a=9,86-0,86=9(m/{{s}^{2}})$
Chu kì của con lắc: \[T”=2\pi \sqrt{\frac{l}{g”}}\] (3)
Lập tỉ số ta được $\frac{T”}{T}=\sqrt{\frac{g}{g”}}\Rightarrow T”=2.\sqrt{\frac{9,86}{9}}=2,093(s)$
Ví dụ 3: Một con lắc đơn dài $l=1(m)$, quả nặng khối lượng $m=400(g)$mang điện tích $q=-{{4.10}^{-6}}(C)$
a. Khi vật ở vị trí cân bằng bền, người ta truyền cho nó vận tốc ${{v}_{0}}$, vật dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng này.
Tìm chu kì dao động của con lắc, lấy $g=10(m/{{s}^{2}})$.
b. Đặt con lắc vào vùng không gian có điện trường đều (có phương trùng với phương của trọng lực) thì chu kì dao động của con lắc là $2,04(s)$. Xác định hướng và độ lớn của điện trường.
Giải:
a. Chu kì: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{1}{10}}=1,986(s)$
b. Khi con lắc đặt vào điện truờng đều $\vec{E}$, con lắc chịu tắc dụng của lực điện trường $\vec{F}=q\vec{E}$
Ở vị trí cân bằng: $\vec{P}+\vec{T}+\vec{F}=\vec{0}\Rightarrow \vec{T}’=-\left( \vec{P}+\vec{F} \right)$
Đặt $\vec{P}’=\left( \vec{P}+\vec{F} \right)=mg’$ (1)
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng: $P’=mg’$, với $g’$ là gia tốc trọng trường hiệu dụng
$\Rightarrow $ Chu kì của con lắc là: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l}{g’}}$
Do $T’>T$ nên $g'<g\Rightarrow g’=g-\frac{\left| q \right|E}{m}$ (2)
$\Rightarrow \vec{F}$ ngược chiều $\vec{P}$ mà $q<0$ nên $\vec{E}$ ngược chiều $\vec{F}$. Vậy $\vec{E}$ cùng chiều $\vec{P}$ (hay $\vec{E}$ có hướng thẳng đứng hướng xuống )
Từ (2)$\Rightarrow $$\frac{4{{\pi }^{2}}l}{T{{‘}^{2}}}=g-\frac{\left| q \right|E}{m}\Leftrightarrow E=\left( g-\frac{4{{\pi }^{2}}l}{T{{‘}^{2}}} \right)\cdot \frac{m}{\left| q \right|}=\left( 10-\frac{4{{\pi }^{2}}.1}{{{2,04}^{2}}} \right)\cdot \frac{0,4}{{{4.10}^{-6}}}={{8,48.10}^{5}}(V/m)$
Ví dụ 4: Có ba con lắc cùng chiều dài dây treo, cùng khối lượng. Con lắc thứ nhất và con lắc thứ hai mang điện tích ${{q}_{1}}$ và ${{q}_{2}}$, con lắc thứ ba không mang điện tích. Chu kì dao động điều hoà của chúng trong điện trường có phương thẳng đứng lần lượt là ${{T}_{1}}$, ${{T}_{2}}$, và ${{T}_{3}}$, với ${{T}_{1}}=\frac{1}{3}{{T}_{3}}$, ${{T}_{2}}=\frac{2}{3}{{T}_{3}}$. Tính ${{q}_{1}}$ và ${{q}_{2}}$ biết rằng ${{q}_{1}}+{{q}_{2}}={{7,4.10}^{-8}}(C)$
.Giải:
Khi đặt con lắc vào điện trường đều $\vec{E}$, con lắc chịu tác dụng của lực điện trường $\vec{F}=q\vec{E}$
Ở vị trí cân bằng: $\vec{P}+\vec{T}+\vec{F}=\vec{0}\Rightarrow \vec{T}’=-\left( \vec{P}+\vec{F} \right)$
Đặt $\vec{P}’=\left( \vec{P}+\vec{F} \right)=mg’$ (1)
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng: $P’=mg’$, với $g’$ là gia tốc trọng trường hiệu dụng
$\Rightarrow $ Chu kì của con lắc là: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l}{g’}}$
Do $\vec{E}$ cùng phương với $\vec{P}$ nên: $g’=g+\frac{qE}{m}$
Con lắc thứ nhất mang điện tích ${{q}_{1}}$ có chu kì: ${{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{{{g}_{1}}}}$với ${{g}_{1}}=g+\frac{{{q}_{1}}E}{m}$g
Con lắc thứ nhất mang điện tích ${{q}_{2}}$ có chu kì: ${{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{{{g}_{2}}}}$với ${{g}_{2}}=g+\frac{{{q}_{2}}E}{m}$g
Con lắc thứ ba không mang điện tích có chu kì: ${{T}_{3}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
Theo đề ta có ${{T}_{1}}=\frac{1}{3}{{T}_{3}}\Rightarrow {{g}_{1}}$
$=9g\Leftrightarrow g+\frac{{{q}_{1}}E}{m}=9g\Leftrightarrow {{q}_{1}}=\frac{8gm}{E}$
${{T}_{2}}=\frac{2}{3}{{T}_{3}}\Rightarrow 4{{g}_{2}}$
$=9g\Leftrightarrow 4\left( g+\frac{{{q}_{2}}E}{m} \right)=9g\Rightarrow {{q}_{2}}=\frac{5gm}{4E}$
Suy ra $\frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}=6,4$ mặt khác ta lại có: ${{q}_{1}}+{{q}_{2}}={{7,4.10}^{-8}}(C)\Rightarrow {{q}_{1}}={{6,4.10}^{-8}}(C)$, ${{q}_{2}}={{10}^{-8}}(C)$
Ví dụ 5: Một con lắc đơn khi dao động nhỏ chu kì là 2(s). Cho con lắc ở ngay mặt đất, quả cầu mang điện tích $q$. Đặt con lắc vào vùng điện trường đều $\vec{E}$, hướng xuống, $E=9810{(V}/{m}\;)$. Khi đó chu kì con lắc ở độ cao 6,4(km). Tìm giá trị và dấu của $q$. Cho $g=9,81(m/{{s}^{2}})$(ở mặt đất), $R=6400(km)$, $m=100(g)$
Giải:
Khi đặt con lắc vào điện trường đều $\vec{E}$, con lắc chịu tác dụng của lực điện trường $\vec{F}=q\vec{E}$
Ở vị trí cân bằng:
$\vec{P}+\vec{T}+\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}=\vec{0}\Rightarrow \vec{T}=-\left( \vec{P}+\vec{F} \right)$
Đặt $\vec{P}’=\vec{P}+\vec{F}=m\vec{g}’$ (*)
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng $P’=mg’$, với $g’$ là gia tốc trọng trường hiệu dụng
Chu kì con lắc là: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l}{g’}}$
Do $\vec{E}$ cùng phương với $\vec{P}$ nên: $g’=g+\frac{qE}{m}$
Khi ở độ cao $h$: $g”=\frac{GM}{{{\left( R+h \right)}^{2}}}$, ở mặt đất: $g=\frac{GM}{{{R}^{2}}}$
$\Rightarrow \frac{g”}{g}=\frac{{{R}^{2}}}{{{\left( R+h \right)}^{2}}}\approx 1-\frac{2h}{R}\Rightarrow g”=g\left( 1-\frac{2h}{R} \right)$
Để ở mặt đất khi con lắc đặt trong điện trường $\vec{E}$ có chu kì bằng chu kì khi ở độ cao $h$ thì $g’=g”$
$\Rightarrow q=-\frac{2hgm}{RE}=-\frac{2.6,4.9,81.0,1}{6400.9810}=-{{2.10}^{-7}}(C)$
Ví dụ 6: Một con lắc đơn có chiều dài $1(m)$ treo vào điểm O cố định. Khi dao động con lắc luôn chịu tác dụng của lực $\vec{F}$ không đổi, có phương vuông góc với trọng lực $\vec{P}$ và có độ lớn bằng $\frac{P}{\sqrt{3}}$. Tìm vị trí cân bằng và chu kì con lắc. Lấy $g=10(m/{{s}^{2}})$
Giải:
Khi chưa có lực $\vec{F}$
Ở vị trí cân bằng: $\vec{P}+\vec{T}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{T}=-\vec{P}=-m\vec{g}$
Chu kì con lắc là: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
Khi có lực $\vec{F}$
Ở vị trí cân bằng: $\vec{P}+\vec{T}+\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}$
$=\vec{0}\Rightarrow \vec{T}=-\left( \vec{P}+\vec{F} \right)$
Đặt $\vec{P}’=\vec{P}+\vec{F}=m\vec{g}’$
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng $P’=mg’$,
với $g’$ là gia tốc trọng trường hiệu dụng
Ta có chu kì con lắc là: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l}{g’}}$
Do $\vec{F}\bot \vec{P}$ và $F=\frac{P}{\sqrt{3}}$
nên
$P’=\sqrt{{{P}^{2}}+{{F}^{2}}}=\sqrt{{{P}^{2}}+\frac{{{P}^{2}}}{3}}$
$=\frac{2P}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow g’=\frac{2}{\sqrt{3}}g=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 10$
$=11,547m/{{s}^{2}}\Rightarrow T’=2\pi \sqrt{\frac{1}{11,547}}=1,849(s)$
Ở vị trí cân bằng, góc giữa dây treo và phương thẳng đứng là $\alpha $
với $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \alpha =30{}^\circ $
Ví dụ 7: Một con lắc đơn có chiều dài $0,64(m)$ dao động ở nơi có $g=9,8(m/{{s}^{2}})$. Quả nặng của con lắc là quả cầu nhỏ bằng sắt non, khối lượng 10(g). Con lắc dao động trong từ trường đều, lực từ tác dụng vào quả cầu có cường độ $0,002(N)$ và có phương thẳng đứng. Tính chu kì con lắc.
Giải:
Lực từ tác dụng vào quả cầu $F=0,002(N)$
Khi con lắc chịu tác dụng của lực từ $F$
Ở vị trí cân bằng: $\vec{P}+\vec{T}+\vec{F}=\vec{0}$
$\Rightarrow \vec{T}’=-\left( \vec{P}+\vec{F} \right)$
Đặt $\vec{P}’=\left( \vec{P}+\vec{F} \right)=mg’$ (*)
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng: $P’=mg’$,
với $g’$ là gia tốc trọng trường hiệu dụng
$\Rightarrow $ Chu kì của con lắc là: $T’=2\pi \sqrt{\frac{l}{g’}}$
Khi lực $\vec{F}$ cùng chiều với $\vec{P}$: (Hình a)
Từ (*)$\Rightarrow P’=P+F\Leftrightarrow g’=g+\frac{F}{m}$
$\Leftrightarrow g’=g+\frac{F}{m}$
$=9,8+\frac{0,002}{0,01}=10m/{{s}^{2}}$
Chu kì con lắc: $T’=2\pi \sqrt{\frac{0,64}{10}}=1,59(s)$
Khi lực $\vec{F}$ ngược chiều với $\vec{P}$: (Hình b)
Từ (*)$\Rightarrow P’=P-F$
$\Leftrightarrow g’=g-\frac{F}{m}$
$\Leftrightarrow g’=9,8-\frac{0,002}{0,01}=9,6(m/{{s}^{2}})$
Chu kì con lắc : $T’=2\pi \sqrt{\frac{0,64}{9,6}}=1,62(s)$