Đặt điện áp $u=U \sqrt{2} \cos 2 \pi f t(V)$ ($f$ thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp theo thứ tự gồm biến trở $R$, cuộn cảm thuần có độ tự cảm $L$ và tụ điện có điện dung $C$. Gọi $M$ là điểm nối giữa cuộn cảm $L$ với tụ $C$. Ứng với mỗi giá trị của $f$ (thỏa mãn ${{f}^{2}}>\frac{1}{4{{\pi }^{2}}LC}$) điều chỉnh $\mathrm{R}$ sao cho góc lệch pha giữa điện áp hai đầu đoạn mạch $\mathrm{AB}$ và điện áp hai đầu mạch AM đạt giá trị lớn nhất. Hình bên biểu diễn sự phụ thuộc của $R$ theo $f$. Giá trị của $L$ là
A. $\frac{2}{5 \pi} \mathrm{H}$.
B. $\frac{1}{5 \pi} \mathrm{H}$.
C. $\frac{4}{5 \pi} \mathrm{H}$.
D. $\frac{3}{5 \pi} \mathrm{H}$.
Hướng dẫn giải
$\tan \left( {{\varphi }_{AM}}-{{\varphi }_{AB}} \right)=\frac{\tan {{\varphi }_{AM}}-\tan {{\varphi }_{AB}}}{1+\tan {{\varphi }_{AM}}.\tan {{\varphi }_{AB}}}=\frac{\frac{{{Z}_{L}}}{R}-\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}}{1+\frac{{{Z}_{L}}}{R}.\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}}=\frac{{{Z}_{C}}}{R+\frac{{{Z}_{L}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}{R}}\underset{\operatorname{Cos}i}{\mathop{\le }}\,\frac{{{Z}_{C}}}{2\sqrt{{{Z}_{L}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow R=\frac{{{Z}_{L}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}{R}\Rightarrow {{R}^{2}}=Z_{L}^{2}-{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}\Rightarrow {{R}^{2}}=4{{\pi }^{2}}{{f}^{2}}{{L}^{2}}-\frac{L}{C}$
$\to \left\{ \begin{align}
& {{20}^{2}}=4{{\pi }^{2}}{{.25}^{2}}.{{L}^{2}}-\frac{L}{C} \\
& {{44}^{2}}=4{{\pi }^{2}}{{.35}^{2}}{{L}^{2}}-\frac{L}{C} \\
\end{align} \right.\Rightarrow L=\frac{4}{5\pi }$(H).