Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng $m=200(g)$, chiều dài dây $l=0.25(m)$ treo tại nơi có $g=10(m/{{s}^{2}})$. Bỏ qua ma sát.
- Tính cơ năng của con lắc.
- Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc ${{\alpha }_{0}}=90{}^\circ $ rồi thả không vận tốc đầu. Tính vận tốc vật khi vật qua vị trí cân bằng và khi góc lệch dây treo là $60{}^\circ $.
- Tính góc lệch $\alpha $ khi động năng bằng 3 thế năng.
- Giả sử khi con lắc đi đến vị trí có góc lệch $60{}^\circ $ thì dây treo tuột ra. Lập phương trình quỹ đạo của vật.
Giải:
- Chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng.
Cơ năng: $E=mgl\left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)=0,2.10.0,25.\left( 1-\cos 90{}^\circ \right)=0,5(J)$
- Chứng minh để có: $v=\pm \sqrt{2gl\left( \cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}} \right)}$
Ở vị trí cân bằng: $\alpha =0\Rightarrow \cos \alpha =\cos 0{}^\circ =1$
${{v}_{0}}=\pm \sqrt{2gl\left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)}=\pm \sqrt{2.10.0,25\left( 1-\cos 90{}^\circ \right)}=\pm \sqrt{5}(m/s)$
Khi góc $\alpha =60{}^\circ $ ta có: $v=\pm \sqrt{2gl\left( \cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}} \right)} $
$ =\pm \sqrt{2.10.0,25\left( \frac{1}{2}-0 \right)}=\pm \sqrt{2,5}(m/s)$
- Khi động năng bằng ba lần thế năng: ${{W}_{d}}=3{{W}_{t}}$
$W={{W}_{d}}+{{W}_{t}}\Rightarrow W=4{{W}_{t}}\Leftrightarrow mgl\left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right) $
$ =4mgl\left( 1-\cos \alpha \right)\Leftrightarrow \cos \alpha =\frac{3+\cos {{\alpha }_{0}}}{4}=0,75\Rightarrow \alpha =41,4{}^\circ $d. Khi con lắc đi lên vị trí có góc lệch $60{}^\circ $ thì lúc này vận tốc của vật là $\left| v \right|=\sqrt{2,5}(m/s)$; dây treo tuột ra; chuyển động tiếp theo của vật là chuyển động của vật được coi như ném xiên góc $\alpha =60{}^\circ $ so với phương ngang.
Chọn gốc tọa độ $O’xy$ với$O’x$ nằm ngang, $O’y$ thẳng đứng hướng lên. Chuyển động của vật là tổng hợp của hai chuyển động:
- Thẳng đều theo phương ngang $O’x$, với: $\left\{ \begin{align} & {{v}_{O’x}}=v\cos \alpha \\ & x={{v}_{O’x}}.t=v.t.\cos \alpha \\\end{align} \right.$(2)
- Biến đổi đều theo phương thẳng đứng $O’y$, với $a=-g$ với: $\left\{ \begin{align} & {{v}_{O’y}}=v\sin \alpha \\ & y=vt\sin \alpha -\frac{g{{t}^{2}}}{2} \\ \end{align} \right.$(3)
Từ (2) $\Rightarrow t=\frac{x}{v\cos \alpha }$; thế vào (3) ta được:
$y=\tan \alpha -\frac{g}{2{{v}^{2}}{{\cos }^{2}}\alpha }{{x}^{2}}=\sqrt{3}-\frac{10}{2.2,5.{{\cos }^{2}}60{}^\circ }{{x}^{2}}=\sqrt{3}-8{{x}^{2}}$ (*)
Phương trình (*) là phương trình quỹ đạo chuyển động của vật.