CÁCH  VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1. GỢI Ý PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bắt buộc chọn hệ quy chiếu (chọn gốc toạ độ tại VTCB, gốc thời gian, chiều dương của trục Ox) trước khi viết (thường bài toán trắc nghiệm thì đề chọn sẵn rồi).

Gọi phương trình dao động điều hoà cần viết là  $ x=Ac\text{os}\left( \omega t+\varphi  \right) $ ; từ đó suy ra các phương trình  $ v=-\omega A\sin \left( \omega t+\varphi  \right) $ ;  $ a=-{{\omega }^{2}}x $ ;  $ F=ma=-m.{{\omega }^{2}}x $  để dùng (nếu đề có đề cập tới)

• Bước 1: Tìm tần số góc $ \omega $ . Có thể áp dụng các công thức gợi ý dưới

$ \omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}=2\pi \frac{N}{\Delta t}=\frac{v}{\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\sqrt{\frac{a}{x}}=\sqrt{\frac{\left| {{a}_{m\text{ax}}} \right|}{A}}=\frac{\left| {{v}_{\max }} \right|}{A}=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}=\sqrt{\frac{a_{1}^{2}-a_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}} $

• Bước 2: Tìm biên độ. Có thể liệt kê các công thức liên quan đến biên độ đã được học (tuỳ đề cho gì để liệt kê mà tiện sử dụng). Thường gặp kiểu đề cho li độ, vận tốc, gia tốc thì dùng công thức dưới đây:
• Ta có: $ A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{1}}}}=\sqrt{{{\left( \frac{v}{\omega } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-v_{2}^{2}x_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}} $
• Bước 3: Tìm pha ban đầu $ {{\varphi }_{0}} $ (thường ta lấy  $ -\pi <{{\varphi }_{0}}<\pi  $ ). Dựa vào điều kiện ban đầu.

Tại thời điểm  $ t=0 $ ta có: $ \cos \varphi =\frac{{{x}_{0}}}{A};\sin \varphi =\frac{{{v}_{0}}}{-\omega A}\Rightarrow \varphi  $ ;

Có thể nhớ mẹo: tại  t = 0; Nếu v > 0 thì chọn  $ \varphi  $ < và ngược lại Nếu v < 0 thì chọn  $ \varphi  $ >0

1. BÀI TẬP MINH HOẠ

Lời giải

Ta có:  $ \omega =\frac{2\pi }{T}=\pi (rad/s) $

Phương trình dao động của vật có dạng:  $ x=5\cos \left( \pi t+\varphi  \right) $ cm

Tại  $ t=0 $ ta có:

$ \begin{cases} x=5\cos \varphi =0 \\ v=-5\pi \sin \varphi >0 \end{cases} . \Leftrightarrow \varphi =- \frac{\pi }{2}. $  Chọn C.

Lời giải

Ta có:  $ \omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \text{ }rad/s. $

Phương trình dao động của vật có dạng  $ x=5\cos \left( 2\pi t+\varphi  \right) $ .

Tại thời điểm  $ t=0 $  ta có:  $ \begin{cases}  & c\text{os}\varphi =0 \\  & -\sin \varphi >0 \\ \end{cases} .\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{2}. $  Chọn A.

Lời giải

Chu kì dao động là  $ T=\frac{31,4}{100}=\frac{\pi }{10}(s)\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=20\text{ }(rad/s). $

Ta có:  $ A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{4+{{\left( \frac{40\sqrt{3}}{20} \right)}^{2}}}=4\text{ }(cm). $

Phương trình dao động của vật có dạng:  $ x=4\cos \left( 20t+\varphi  \right)(cm). $

Tại thời điểm  t=0, ta có:  $ \begin{cases} & c\text{os}\varphi =\frac{1}{2} \\ & -\sin \varphi =-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{cases}. \Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}. $  Chọn D.

Lời giải

Ta có:  $ \omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \text{ }(rad/s). $  Lại có hệ thức độc lập với thời gian  $ {{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} $

Suy ra  $ A=\sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}=13\text{ }(cm) $ . PT của vật  $ x=13\cos \left( \pi t+\varphi  \right) $ .

Tại  $ t=0 $  ta có:  $ \begin{cases}  & x=13\cos \varphi =0 \\ & v=-13\pi \sin \varphi <0 \\ \end{cases} .\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{2}\Rightarrow  $ PTDĐ  $ x=13\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm). $  Chọn D.

Lời giải

Ta có:  $ \begin{cases} & \left| x \right|=4 \\ & v=-20\pi \sqrt{3} \\ & a=-100{{\pi }^{2}}=-{{\omega }^{2}}x \\ \end{cases}.\Rightarrow \left\{ \begin{cases}  & x=4\text{ cm} \\ & \omega =5\pi  \\ & v=-20\pi \sqrt{3} \\ \end{cases} \right.\Rightarrow A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=8\left( cm \right). $

Giả sử phương trình dao động của vật là  $ x=8\cos \left( 5\pi t+\varphi  \right). $

Tại  $ t=0 $  ta có:  $ \left\{ \begin{cases}   & x=8\cos \varphi =4 \\  & v=-40\pi \sin \varphi =-20\pi \sqrt{3} \\ \end{cases} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}\Rightarrow  $  PTDĐ:  $ x=8\cos \left( 5\pi t+\frac{\pi }{3} \right)(cm). $ Chọn A.

Lời giải

Khoảng thời gian 2 làn liên tiếp vật đi qua VTCB là:  $ \Delta t=\frac{T}{2}=1s\Rightarrow T=2s\Rightarrow \omega =\pi \text{ }\left( rad/s \right). $

Ta có:  $ \left\{ \begin{cases}  & {{v}_{0}}=-\pi \sqrt{3} \\ & a=-10=-{{\omega }^{2}}x \\\end{cases} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{cases} &{{x}_{0}}=1\text{ }cm \\ & A=\sqrt{x_{0}^{2}+{{\left( \frac{{{v}_{0}}}{\omega } \right)}^{2}}}=2\text{ cm} \\\end{cases} \right. $
Giả sử phương trình dao động của vật là  $ x=2\cos \left( \pi t+\varphi  \right). $

Tại  $ t=0 $  ta có:  $ \begin{cases}  & x=2\cos \varphi =1 \\ & v=-2\pi \sin \varphi =-\pi \sqrt{3} \\ \end{cases}.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}\Rightarrow  $ PTDĐ:  $ x=2\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)\left( cm \right). $  Chọn C.

Lời giải

Biên độ dao động là  $ A=\frac{\ell }{2}=4\text{ cm}\text{.} $

Lại có:  $ \omega A=40\pi \Rightarrow \omega =10\pi \left( rad/s \right). $

Giả sử phương trình dao động của vật là  $ x=4\cos \left( 10\pi t+\varphi  \right). $

Tại  $ t=0 $  ta có:  $ \left\{ \begin{cases}   & x=4\cos \varphi =2\sqrt{3} \\  & v=-40\pi \sin \varphi >0 \\ \end{cases} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{-\pi }{6}\Rightarrow  $ PTDĐ:  $ x=4\cos \left( 10\pi t-\frac{\pi }{6} \right)cm. $  Chọn A.

Lời giải

Ta có:  $ a=-{{\omega }^{2}}x\Rightarrow x=\frac{a}{-{{\omega }^{2}}}=-0,02\cos \left( 20t-\frac{\pi }{2} \right)m. $

Do đó  $ a=2\cos \left( 20t+\frac{\pi }{2} \right)cm. $  Chọn D.

Lời giải

Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì  $ v={{v}_{\max }}=8\text{ }m/s. $

Ta có:  $ {{\left( \frac{{{v}_{0}}}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{a}_{0}}}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{a}_{0}}=\frac{{{a}_{\max }}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{a}_{\max }}=80\text{ }m/{{s}^{2}}. $

Do đó  $ \omega =\frac{{{a}_{\max }}}{{{v}_{\max }}}=10\left( rad/s \right),\text{ }A=\frac{{{v}_{\max }}}{\omega }=0,8\text{ }m. $

Tại thời điểm ban đầu  $ \left\{ \begin{cases}   & A\cos \varphi =-0,4\sqrt{3} \\  & \sin \varphi <0 \\ \end{cases} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{-5\pi }{6}. $  Chọn B.

Lời giải

Ta có:  $ A=5\text{ }cm,\text{ }\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right). $

Phương trình dao động của vật có dạng:  $ x=5\cos \left( \pi t+\varphi  \right). $

Tại  $ t=0 $  ta có:  $ \left\{ \begin{cases}  & x=5\cos \varphi  \\ & v=-5\pi \sin \varphi >0 \\ \end{cases} \right.\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{2}. $  Chọn C.

Lời giải

Tần số góc của vật là  $ \omega =2\pi f=6\pi \left( rad/s \right). $

Độ dài quỹ đạo bằng 20 cm  $ \Rightarrow  $ Biên độ dao động của chất điểm là  $ A=10cm $

Khi  $ v=-30\pi \sqrt{3} $ , áp dụng hệ thức độc lập ta có  $ x=\sqrt{{{A}^{2}}-\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=5cm $

Vật đang chuyển động chậm dần  $ \Rightarrow x=-5cm $  và lúc này có  $ v<0 $

$ \Rightarrow  $ Pha dao động tại thời điểm  $ t=\frac{1}{18}\left( s \right) $ là  $ \varphi =\frac{2\pi }{3}\left( rad \right) $

Pha dao động của một thời điểm được xác định bởi:  $ \omega t+{{\varphi }_{0}}=\varphi  $

 $ \Rightarrow 6\pi .\frac{1}{18}+{{\varphi }_{0}}=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow {{\varphi }_{0}}=\frac{\pi }{3}\left( rad \right)\Rightarrow x=10\cos \left( 6\pi t+\frac{\pi }{3} \right)cm. $ Chọn A.

Lời giải

Hệ thức độc lập thời gian giữa li độ và vận tốc:  $ {{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{{{v}_{m\text{ax}}}} \right)}^{2}}=1 $

Tại mọi thời điểm t li độ và vận tốc của vật thỏa mãn  $ \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{v}^{2}}}{250}=1\Rightarrow \left\{ \begin{cases}  & A=5\text{ }cm \\  & {{v}_{m\text{ax}}}=5\pi  \\ \end{cases} \right. $

Tần số góc của vật là  $ \omega =\frac{{{v}_{\max }}}{A}=\pi \left( rad/s \right) $

Tại thời điểm  $ t=\frac{2}{3}\left( s \right) $  vật đang ở li độ  $ x=2,5cm $  và chuyển động nhanh dần

$ \Rightarrow  $ Pha dao động lúc này là  $ \varphi =\frac{\pi }{3}\left( rad \right)\Rightarrow \omega t+{{\varphi }_{0}}=\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}+{{\varphi }_{0}}=\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow {{\varphi }_{0}}=-\frac{\pi }{3}\left( rad \right) $

Phương trình dao động là  $ x=Ac\text{os}\left( \omega t+{{\varphi }_{0}} \right)=5\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{3} \right)cm. $  Chọn B.